定义在（0,正无穷）上的函数f(x),对于任意的m,n属于（0,正无穷）,都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,当x＞1时,f(x)＜0求：f(x)是（0,正无穷）上的减函数为什么f（x2）-f（x1）可以直接得到f(x2/x1)，没看懂中间的

分类: 作业答案 • 2021-12-19 10:40:19

问题描述：

定义在（0,正无穷）上的函数f(x),对于任意的m,n属于（0,正无穷）,都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,当x＞1时,
f(x)＜0
求：f(x)是（0,正无穷）上的减函数
为什么f（x2）-f（x1）可以直接得到f(x2/x1)，没看懂中间的

答

设0＜x1＜x2
f（x2）-f（x1）=f（x2/x1 * x1)-f(x1)=f(x2/x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2/x1)
又∵x＞1时，f（x）＜0，0＜x1＜x2，f(x2/x1)＜0
∴f(x)是（0，正无穷）上的减函数

答

证明：设x1＞x2＞0,那么x1／x2＞1
则f(x1)-f(x2)＝f(x1／x2·x2)－f(x2)
＝f(x1／x2）＋f(x2)－f(x2)＝f(x1／x2）＜0
∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在（0,＋∞）上是减函数