设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1. (1)求f(1/2)的值; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)

问题描述:

设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)求f(

1
2
)的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)求方程4sinx=f(x)的根的个数.

(1)令m=n=1,则f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0(2分)
m=2,n=

1
2
,则f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)

f(
1
2
)=f(1)−f(2)=−1
(4分)
(2)设0<x1<x2,则
x2
x1
>1

∵当x>1时,f(x)>0
f(
x2
x1
)>0
(6分)
f(x2)=f(x1×
x2
x1
)=f(x1)+f(
x2
x1
)>f(x1)
(9分)
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数(10分)
(3)∵y=4sinx的图象如右图所示
又f(4)=f(2×2)=2,f(16)=f(4×4)=4
由y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(1)=0,f(16)=4可得y=f(x)的图象大致形状如右图所示,
由图象在[0,2π]内有1个交点,
在(2π,4π]内有2个交点,
在(4π,5π]内有2个交点,又5π<16<6π,
后面y=f(x)的图象均在y=4sinx图象的上方.
故方程4sinx=f(x)的根的个数为5个(16分)