设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1． （1）求f(1/2)的值； （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数； （3）
问题描述：
设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求f(
)的值；1 2
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的个数．
答
（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令m＝2，n＝
，则f(1)＝f(2×1 2
)＝f(2)+f(1 2
)，1 2
∴f(
)＝f(1)−f(2)＝−1（4分）1 2
（2）设0＜x1＜x2，则
＞1x2 x1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f(
)＞0（6分）x2 x1
f(x2)＝f(x1×
)＝f(x1)+f(x2 x1
)＞f(x1)（9分）x2 x1
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分）
（3）∵y=4sinx的图象如右图所示
又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的图象大致形状如右图所示，
由图象在[0，2π]内有1个交点，
在（2π，4π]内有2个交点，
在（4π，5π]内有2个交点，又5π＜16＜6π，
后面y=f（x）的图象均在y=4sinx图象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的个数为5个（16分）