若函数f(x)=ax3+x恰有3个单调区间,则实数a的取值范围(  ) A.(-1,0] B.(0,1] C.(-∞,1] D.(-∞,0)

问题描述:

若函数f(x)=ax3+x恰有3个单调区间,则实数a的取值范围(  )
A. (-1,0]
B. (0,1]
C. (-∞,1]
D. (-∞,0)

由f(x)=ax3+x,得f′(x)=3ax2+1.
若a≥0,f′(x)≥0恒成立,
此时f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,函数只有一个增区间,不满足条件.
若a<0,由f′(x)>0,得-

1
3a
<x<
1
3a

由f′(x)<0,得x>
1
3a
或x<-
1
3a

∴满足f(x)=ax3+x恰有三个单调区间的a的范围是(-∞,0);
故选:D.