证：对任意正整数n,都有1/n+1
问题描述：
证：对任意正整数n,都有1/n+1
数学人气：539 ℃时间：2020-05-11 02:23:43
优质解答
1/n+1 不妨令1/n为x,
即证
x/(x+1) 令f(t)=ln(1+t)0由拉格朗日中值定理得
存在ξ属于(0,x),使得
f'(ξ)=[ln(1+x)-ln1]/(x-0)=ln(1+x)/x=1/(1+ξ)
ξ=0时最大,ξ=x时最小,即
1>ln(1+x)/x>1/(1+x)
所以
x/(x+1) 所以有1/n+1
即证
x/(x+1) 令f(t)=ln(1+t)0由拉格朗日中值定理得
存在ξ属于(0,x),使得
f'(ξ)=[ln(1+x)-ln1]/(x-0)=ln(1+x)/x=1/(1+ξ)
ξ=0时最大,ξ=x时最小,即
1>ln(1+x)/x>1/(1+x)
所以
x/(x+1) 所以有1/n+1
答
1/n+1 不妨令1/n为x,
即证
x/(x+1) 令f(t)=ln(1+t)0由拉格朗日中值定理得
存在ξ属于(0,x),使得
f'(ξ)=[ln(1+x)-ln1]/(x-0)=ln(1+x)/x=1/(1+ξ)
ξ=0时最大,ξ=x时最小,即
1>ln(1+x)/x>1/(1+x)
所以
x/(x+1) 所以有1/n+1