已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则a2+2ab+2ac+4bcb2−2bc+c2的最小值为_．
问题描述：
已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则
的最小值为______．
a2+2ab+2ac+4bc
b2−2bc+c2
答
∵函数f（x）=3x+a，与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，且f（x）与g（x）均为增函数
∴f（b）=3b+a＜0，即b＜-
，a 3
g（b）=3b+2a＜0，即b＜-
，2a 3
f（c）=3c+a＞0，即c＞-
，a 3
g（c）=3c+2a＞0，即c＞-
，2a 3
∵当a＞0时，a+2b＜0，a+2c＞0，
当a＜0时，a+2b＜0，a+2c＞0，
当a=0时，a+2b＜0，a+2c＞0，
即a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，即-a-2b＞0，a+2c＞0恒成立，
∴
a2+2ab+2ac+4bc
b2−2bc+c2
=
(a+2b)(a+2c) (b−c)2
=
(a+2b)(a+2c)
[(a+2b)−(a+2c)]2
1 4
=
4(a+2b)(a+2c) [(a+2b)−(a+2c)]2
=
4(a+2b)(a+2c)
(a+2b)2+(a+2c)2−2(a+2b)(a+2c)
=
4(a+2b)(a+2c)
(a+2b)2+(a+2c)2+2(−a−2b)(a+2c)
≥
=-1，4(a+2b)(a+2c) 4(−a−2b)(a+2c)
∴
的最小值为-1，
a2+2ab+2ac+4bc
b2−2bc+c2
故答案为：-1