已知二次函数图象的顶点是(-1,2),且过点(0,3/2). (1)求二次函数的表达式,并在图中画出它的图象; (2)求证:对任意实数m,点M(m,-m2)都不在这个二次函数的图象上.

问题描述:

已知二次函数图象的顶点是(-1,2),且过点(0,

3
2
).

(1)求二次函数的表达式,并在图中画出它的图象;
(2)求证:对任意实数m,点M(m,-m2)都不在这个二次函数的图象上.

(1)依题意可设此二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2,
又点(0,

3
2
)在它的图象上,
所以
3
2
=a+2,解得,a=−
1
2

所求为y=-
1
2
(x+1)2+2,或y=-
1
2
x2-x+
3
2

令y=0,得x1=1,x2=-3,
画出其图象;
(2)证明:若点M在此二次函数的图象上,
则-m2=-
1
2
(m+1)2+2,
得m2-2m+3=0,
方程的判别式:4-12=-8<0,该方程无实根,
所以,对任意实数m,点M(m,-m2)都不在这个二次函数的图象上.