一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等

已知：Rt三角形ABC的直角边BC上的中线为AE,直角边AC上的中线为BF；
Rt三角形A'B'C'直角边B'C'上的中线A'E',直角边A'C'上的中线为B'F'.满足AE=A'E',BF=B'F'
求证：Rt三角形ABC全等于Rt三角形A'B'C'
证明：设AC=a,BC=b,A'C'=a',B'C'=b'
由勾股定理,得：AE^2=CE^2+AC^2=(b/2)^2+a^2
BF^2=BC^2+CF^2=b^2+(a/2)^2
同理,A'E'^2=(b'/2)^2+a^2
B'F'^2=b'^2+(a'/2)^2
由AE=A'E'得AE^2=A'E'^2,同理,BF^2=B'F'^2
由此得方程组：
(b/2)^2+a^2=(b'/2)^2+a'^2...(1)
b^2+(a/2)^2=b'^2+(a'/2)^2...(2)
（1）-（2）,得：a^2-b^2+(b^2-a^2)/4=a'^2-b'^2+(b'^2-a'^2)/4
即a^2-b^2=a'^2-b'^2,
即a^2-a'^2=b^2-b'^2...(3)
由(1),得：(b^2-b'^2)/4=a'^2-a^2...(4)
将(3)代入(4),得：(a^2-a'^2)/4=a'^2-a^2,即5(a^2-a'^2)/4=0
所以a^2-a'^2=0,即a=a',代入(3)得:b=b'
综上,在Rt三角形ABC与Rt三角形A'B'C'中,AC=A'C',BC=B'C',角ACB=角A'C'B'=90度,所以Rt三角形ABC全等于Rt三角形A'B'C'
结论：一条直角边和另一直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.