已知命题p:在x∈[1,2]内,不等式x2+ax-2>0恒成立;命题q:函数f(x)=log1/3(x2−2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p∨q”是真命题,求实数a的取值范围.
问题描述:
已知命题p:在x∈[1,2]内,不等式x2+ax-2>0恒成立;命题q:函数f(x)=log
(x2−2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p∨q”是真命题,求实数a的取值范围. 1 3
答
∵x∈[1,2]时,不等式x2+ax-2>0恒成立
∴a>
=2−x2
x
−x在x∈[1,2]上恒成立,2 x
令g(x)=
−x,则g(x)在[1,2]上是减函数,2 x
∴g(x)max=g(1)=1,∴a>1.即若命题p真,则a>1;
又∵函数f(x)=log
(x2−2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数,1 3
∴
u(x)=x2−2ax+3a是[1,+∞)上的增函数 u(x)=x2−2ax+3a>0在[1,+∞)上恒成立
∴
∴-1<a≤1.即若命题q真,则-1<a≤1.
a≤1 u(1)>0
若命题“p∨q”是真命题,则有p真q假或p假q真或p,q均为真命题,
若p真q假,则有a>1,若p假q真,则有-1<a≤1,若p,q均为真命题,不存在a;
综上可得实数a的取值范围是a>-1.