已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围为(  ) A.(0,2-1) B.(22,1) C.(

问题描述:

已知椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使
a
sin∠PF1F2
=
c
sin∠PF2F1
,则该椭圆的离心率的取值范围为(  )
A. (0,
2
-1

B. (
2
2
,1

C. (0,
2
2

D. (
2
-1
,1)

在△PF1F2中,由正弦定理得:

PF2
sin∠PF1F2
=
PF1
sin∠PF2F1

则由已知得:
a
PF2
=
c
PF1

即:aPF1=cPF2
设点P(x0,y0)由焦点半径公式,
得:PF1=a+ex0,PF2=a-ex0
则a(a+ex0)=c(a-ex0
解得:x0=
a(c-a)
e(c+a)
=
a(e-1)
e(e+1)

由椭圆的几何性质知:x0>-a则
a(e-1)
e(e+1)
>-a,
整理得e2+2e-1>0,解得:e<-
2
-1或e>
2
-1,又e∈(0,1),
故椭圆的离心率:e∈(
2
-1,1),
故选D.