高数：设f(x)在[0,1]上有连续,在(0,1)内可导
问题描述：
高数：设f(x)在[0,1]上有连续,在(0,1)内可导
设f(x)在[0,1]上有连续,在(0,1)内可导,且∫（上2/PI下0）e^f(x)arctanxdxdx=1/2,f(1)=0,证明：存在ζ∈[0,1],使(1+ζ^2)f'(ζ)arctanζ=-1
提示：设F(x)=e^f(x)arctanx,应用罗尔定理.
为什么会有两个dx呢?
答
那里多写了个dx
由积分中值定理：存在a∈(0,1)使：（2/π)[e^f(a)]arctana=1/2,或[e^f(a)]arctana=π/4
设F(x)=arctanxe^f(x),则：F(1)=arctan1e^f(1)=π/4,F(a)=arctanae^f(a)=π/4.
用罗尔定理,存在ζ∈(a,1)(当然ζ∈(0,1)）,使：F’(ζ)=0
但F‘(x)=e^f(x)/(1+x^2)+arctanxe^f(x)*f'(x)
代入得：1/(1+ζ^2)+f'(ζ)arctanζ=0
即：(1+ζ^2)f'(ζ)arctanζ=-1