已知圆心为C(0,1)的圆与y轴交于A、B两点,与x 轴交于D、E两点,且DE=4根号2,点Q为圆C上的一个动点,过点Q的直线交y轴与点P（0,-8）,连接OQ.

1
设圆的半径为r(r>1)
圆的方程为x²+(y-1)²=r²
∵与x 轴交于D、E两点,且DE=4√2
弦DE中点为原点O
∴r²=|OC|²+|OD|²=1+8=9
∴圆的方程为x²+(y-1)²=9
∴直径|AB|=6
2
Q与D重合时,不妨设D在x正半轴,
则Q(2√2,0）,P(0,-8)
∴PQ:x/(2√2)-y/8=1
即：2√2x-y-8=0
C到PQ的距离d=|-1-8|/√[(2√2)²+1]=3=r
∴直线PD为圆的切线
若Q(-2√2,0)同理可证
3
设Q(x,y),则x²+(y-1)²=9
∴x²+y²-2y=8
∴x²+y²=2y+8
|PQ|²=x²+(y+8)²=x²+y²+16y+64
=2y+8+16y+64=18y+72=18(y+4)
|OQ|²=x²+y²=2y+8=2(y+4)
∴|PQ|²/|OQ|²=9
∴|PQ|/|OQ|=3为定值是初中题，没学过圆的方程好吧，不用圆的方程(1)∵圆与x 轴交于D、E两点，且DE=4√2圆心C(0,1)在y轴上，y轴⊥x轴∴ 弦DE中点为原点O ，OD=2√2∴ΔCDD为直角三角形∴CD²=OC²+|OD|²=1+8=9∴半径CD=3∴直径AB=6(2)∵P(0,-8),D(2√2,0)∴PD²=OD²+OP²=64+8=72又PC²=(1+8)²=81PD²+CD²=81∴PD²+CD²=PC²∴∠PDC=90º∴直线PD为圆的切线(3)设Q(x,y),则QC²=x²+(y-1)²=9∴x²+y²-2y=8∴x²+y²=2y+8PQ²=x²+(y+8)²=x²+y²+16y+64=2y+8+16y+64=18y+72=18(y+4)OQ²=x²+y²=2y+8=2(y+4)∴PQ²/OQ²=9∴PQ/OQ=3为定值