已知函数f(x)=(x^2+ax+11)/(x+1),若对于任意的x属于R,f(x)大于等于3恒成立,求a的范围.
问题描述：
已知函数f(x)=(x^2+ax+11)/(x+1),若对于任意的x属于R,f(x)大于等于3恒成立,求a的范围.
为什么这种方法不对：
x^2+ax+11)/(x+1)≥3,整理可得x^2+(a-3)x+8≥0,函数开口向上,只需要和x轴有一个或者没有交点就可以了,判别式△=（a-3）^2-32≤0就可以求出来a的取值范围.解出来a≥3-4√2
而这种方法正确呢
由已知得(x^2+ax+11)/(x+1))≥3得出a≥3-x-8/x
记g(x)=3-x-8/x,下面求g(x)的最大值
g'(x)=(8-x^2)/x^2
当x≥3时,g'(x)
答
你没有考虑到正负号的问题
ax≥-x²+3x-8
这一步要分开讨论x是否大于0
若x大于0
a≥3-(x+8/x)≥3-4√2
若x小于0
a≤-x-8/x+3
-x-8/x≥3+4√2
综上3-4√2≤a≤3+4√2