平行四边形ABCD所在平面a外有一点P,且PA=PB=PC=PD,求证:点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.

问题描述:

平行四边形ABCD所在平面a外有一点P,且PA=PB=PC=PD,求证:点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.

证明:连接AC、BD交与一点O,连接PO,PA、PC、PB、PD,
则由PA=PB=PC=PD,所以三角形PAC为等腰三角形,
O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可以证明PO⊥BD,
又AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD,
而AB⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,从而PO垂直于AB、AD.