如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点． （1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由； （2）当点E运动到什么位置时，四
问题描述：
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．
（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明；
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．
答
（1）四边形EGFH是平行四边形．
理由是：∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE与△DCE中，
∵
，
AB＝DC ∠A＝∠D AE＝DE
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴EG=EH
又∵由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．
（3）EF⊥BC，EF=
BC1 2
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴根据中位线定理知道EB=EC，
∵F是BC的中点，E为AD的中点，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴EF⊥BC，EF=
BC．1 2