有关线性代数的几道简单的题目

1.A^(-1)＝A*/┃A┃,┃A*┃＝┃A┃^(n-1)＝(1/2)^2＝1/4
于是：┃（2A）-1－5A*┃＝┃1/2×A-1－5A*┃＝┃-4A*┃＝－1.
┃A*┃＝┃A┃^(n-1)应该证明过,没证明也很简单：
┃A*┃= ┃┃A┃A^(-1)┃=┃A┃^n┃A^(-1)┃=┃A┃^(n-1).
2.1 1 -3 -1 1
3 -1 -3 4 4 2行－1行×3,3行－1行
1 5 -9 -8 0 ------------------------→
1 1 -3 -1 1
0 -4 6 7 1 3行+2行
0 4 -6 -7 -1 -----------→
1 1 -3 -1 1
0 -4 6 7 1
0 0 0 0 0
系数行列式的秩为2,未知数有4个,于是*变量有2个(4-2)不妨设为x3、x4
令(x3,x4)=(1,0)和(0,1)代入最后一个矩阵(所代表的齐次方程组x1+x2-3x3-x4=0和-4x2+6x3+7x4=0)求得基础解系：(3/2,3/2,1,0)T和(-3/4,7/4,0,1)T
求出最后一个矩阵(所代表的方程组x1+x2-3x3-x4=1和-4x2+6x3+7x4=1)的一个特令x3=x4=0,于是(5/4,-1/4,0,0) T
于是方程组的解是：k1(3/2,3/2,1,0)T +k2(-3/4,7/4,0,1)T+(5/4,-1/4,0,0) T
解线性方程组,先求出系数矩阵的秩,然后确定*变量的个数,在由给定*变量的值确定基础解系,然后求出方程组的一组特解,基本上步骤就这样.
3.求矩阵列向量组一个极大无关组,只能对矩阵做列变换
2 -1 -1 1 2
1 1 -2 1 4 以第一列为准使第二列起第一行的数为0
4 -6 2 -2 4 ----------------------------------→
3 6 -9 7 9
2 0 0 0 0
1 3/2 -3/2 1/2 3 以第二列为准使第三列起第二行的数为0
4 -4 4 -4 0 ----------------------------------→
3 15/2 -15/2 11/2 6
2 0 0 0 0
1 3/2 0 0 0 以第四列为准使第五列起第三行的数为0
4 -4 0 -8/3 8 ----------------------------------→
3 15/2 0 3 -9
2 0 0 0 0
1 3/2 0 0 0
4 -4 0 -8/3 0
3 15/2 0 3 0
于是矩阵秩为3,考察最后一个矩阵,第1、2、4列不为0,于是原矩阵的1、2、4列构成一个最大无关向量组(不妨列向量设为α1、α2、α3、α4、α5)
考察第3列怎么变为0的：第一次变换中,第二列变换为了α2+α1/2第三列变换为了α3+α1/2,第二次变换中,第三列变换为了α2+α1/2+α3+α1/2
于是:α2+α1/2+α3+α1/2=0,α1+α2+α3=0,于是：α3=-α1-α1
同理:α2→α2+α1/2,α4→α4-α1/2→(α4-α1/2)-(α2+α1/2)/3
α5→α5-α1→(α5-α1)-2(α2+α1/2)→
(α5-α1)-2(α2+α1/2)+3[(α4-α1/2)-(α2+α1/2)/3]=0
于是:α5=4α1+3α2-3α4.