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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　） A.x28+y22=1 B.x212+y26=1 C.x216+y2

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:02:45
问题描述：

已知椭圆C:

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）
A.
x2
8
+
y2
2
=1
B.
x2
12
+
y2
6
=1
C.
x2
16
+
y2
4
=1
D.
x2
20
+
y2
5
=1

答

由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上
∴
4
a2
+
4
b2
=1
又∵e=
3
2

∴
a2-b2
a2
=
3
4

∴a2=4b2
∴a2=20，b2=5
∴椭圆方程为：
x2
20
+
y2
5
=1
故选D．

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