高数 关于可导的问题
问题描述：
高数 关于可导的问题
在复习全书中某题的解答有这么一句话：[f(x)]^2=∫(0→x^2)f(√t)dt,【由f(x)连续及x^2可导知[f(x)]^2可导,又f(x)﹥0,从而f(x)可导】,且{[f(x)]^2}′=2f(x)f′(x).请问【.】里的怎么理解?
答
这个是变上限定积分的一个定理啊,如果f(x)连续,则由积分∫(a→x) f(t)dt确定的函数是可导的,且导数是f(x).这里f(√t)在[0,x^2]上连续,所以积分确定的函数是可导的,方程两边可以求导.那【f(x)﹥0，从而f(x)可导】这句是因为[f(x)]^2可导，则{[f(x)]^2}′=2f(x)f′(x)存在，即f′(x)存在，所以f(x)可导么？为什么要f(x)﹥0？右边函数记为g(x)吧，是非负、可导的，f(x)^2=g(x)，所以f(x)^2可导，f(x)＞0，所以f(x)=√g(x)也可导。所以方程两边可以直接求导，左边的导数是2f×f'