△ABC的三个内角值分别为A、B、C,当∠A=α时,2sin(A/2)-cos(B+C)取得最大值⑴求α 的值⑵如果∠A的对边等于2,求△ABC的面积的最大值

（1）α =45°

2sin(A/2)-cos(B+C)=2sin(A/2)+cosA
=2sin(A/2)+1-2(sin(A/2))^2
=-2(sin(A/2)+1/2)^2+3/2
最大值为3/2,此时sin(A/2)+1/2＝0，即A/2=150°，A＝75°
由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCos75°
由于b^2+c^2－2bc>=0,所以b^2+c^2>=2bc
所以4＝a^2=b^2+c^2-2bcCos75°>=2bc(1-cos75)
所以bc所以面积＝1/2*bc*sinA=(2^(1/2)+6^(1/2))/(4+2^(1/2)-6^(1/2))
此即最大值

(1) 2sin(A/2)-cos(B+C)=2sin[(180-B-C)/2]-cos(B+C)=2cos((B+C)/2)-2[cos((B+C)/2)]^2+1,设(B+C)/2=t,则2sin(A/2)-cos(B+C)=2cos(t)-2[cos(t)]^2+1,t的取值范围为0(2) sinA/2=sinB/b=sinC/c,A=60度,b=4/sqrt(3)*sinB,c=4/sqrt(3)*sinC
三角形面积为1/2*sinA*bc=4/sqrt(3)*sinBsinC=4/sqrt(3)*sinB*sin(120-B)
取最大值时B=60,最大值为sqrt(3)