如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=π3,且△PF1F2的面积为23,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.

问题描述:

如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=

π
3
,且△PF1F2的面积为2
3
,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.

设双曲线方程为:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).在△PF1F2中,由余弦定理,得:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cosπ3=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|•|PF2|.即4c2=4a2+|PF1|...
答案解析:根据点P是双曲线的左支上的一点,及双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a,由,∠F1PF2=

π
3
,且△PF1F2的面积为2
3
,可以求得|PF2|•|PF1|的值,根据余弦定理可以求得a,c的一个方程,双曲线的离心率为2,根据双曲线的离心率的定义式,可以求得a,c的一个方程,解方程组即可求得该双曲线的方程.
考试点:双曲线的简单性质;余弦定理的应用;双曲线的定义.

知识点:此题是个中档题.考查双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程,及利用余弦定理解圆锥曲线的焦点三角形,解题过程注意整体代换的方法,简化计算.