导数应用 (18 22:2:12)
问题描述：
导数应用 (18 22:2:12)
设f(x)=（1/3）X3 +aX2 +5X在区间『1,3』上为单调函数,则实数a的取值范围为（ )
答案是a小于等于-3 并上a大于等于-根号5
答
导函数f’(x)=x²+2ax+5.对称轴x=-a.
∵函数在区间[1,3]上为单调函数,
∴导函数在[1,3]上恒为正或恒为负.
恒正时,由x²+2ax+5≥0得2a≥-[(x)+(5/x)]
由均值不等式,
-[(x)+(5/x)]的最大值=-2√5,
∴2a≥-2√5,
∴a≥-√5.
恒负时,由x²+2ax+5≤0得2a≤-[(x)+(5/x)]
由于
当x=1时,-[(x)+(5/x)]=-6
当x=3时,-[(x)+(5/x)]=-14/3,
-[(x)+(5/x)]的最小值=-6,
∴2a≤-6,
∴a≤-3.
综上,-√5≤a或a≤-3.