线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明?
问题描述：
线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明?
答
如果你知道奇异值分解，那么结论显然。
如果不知道就这样做：
若r(A)=k，那么可以用Gauss消去法把A消成梯阵，即CA=U，其中C是行初等变换的乘积，U仅有前k行非零且线性无关。
于是CAA^TC^T=UU^T，UU^T具有
B 0
0 0
的分块结构，其中B是k阶的满秩矩阵。又C是可逆的，所以r(AA^T)=r(B)=k=r(A)。
再利用r(A)=r(A^T)得r(A^T*A)=r(A^T)。
答
假设A为n阶矩阵
R(ATA) >= R(AT) + R(A) - n = n
R(ATA) 所以 R(A)=R(ATA)
答
构造两个齐次线性方程组：（1）Ax=0,(2)(AT A)x=0 如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数.这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容.现在来证明它们同首先,如果...