已知f（x）=x3+ax2+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为n＝(1，3)． （1）若x＝2/3是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式； （2）若函数f（x）在区间[3/2，2]单调递增
问题描述：
已知f（x）=x3+ax2+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为
＝(1，3)．n
（1）若x＝
是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；2 3
（2）若函数f（x）在区间[
，2]单调递增，求实数b的取值范围． 3 2
答
（1）由题意可得：f′（x）=3x2+2ax+b，
因为函数的图象与y轴交于点（0，2），
所以C=2…①
又因为在x=1处切线的方向向量为
＝(1，3)，n
所以f′（1）=3+2a+b=3…②
因为x＝
是函数f（x）的极值点，2 3
所以f′（
）=2 3
+4 3
+b=0…③4a 3
由①②③可得：a=2，b=-4，c=2．
所以f（x）=x3+a=2x2-4x+2．
（2）由题意可得：c=2，并且2a=-b，所以f′（x）=3x2-bx+b，
因为函数f（x）在区间[
，2]单调递增，3 2
所以f′（x）=3x2-bx+b≥0在[
，2]上恒成立，3 2
即b≤
在[3x2
x−1
，2]上恒成立，3 2
令g（x）=
，x∈[3x2
x−1
，2]，3 2
所以g（x）=3×
=3×[(x−1)+
(x−1)2+2(x−1)+1 x−1
+2]≥12，1 x−1
当且仅当x−1＝
，即x=2时，g（x）有最小值为12．1 x−1
所以b≤g（x）min=12，
所以实数b的取值范围（-∞，12]．