在三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若bcosC=(2a-c)cosB (Ⅰ)求∠B的大小 (Ⅱ)若b=7、a+c=4,求三角形ABC的面积.

问题描述:

在三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若bcosC=(2a-c)cosB
(Ⅰ)求∠B的大小
(Ⅱ)若b=

7
、a+c=4,求三角形ABC的面积.

解(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)
又在三角形ABC中,sin(B+C)=sinA≠0
∴2sinAcosB=sinA,即cosB=

1
2
,得B=
π
3

(Ⅱ)∵b2=7=a2+c2-2accosB
∴7=a2+c2-ac
又∵(a+c)2=16=a2+c2+2ac
∴ac=3
S△ABC
1
2
acsinB

S△ABC
1
2
•3•
3
2
3
3
4