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已知A，B，C为△ABC的三个内角；a，b，c分别为对边，向量m=（2cosC-1，-2），n=（cosC，cosC+1），若m ⊥n，且a+b=10，则△ABC周长的最小值为（　　） A.10-53 B.10+53 C.10-23 D.1

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:04:27
问题描述：

已知A，B，C为△ABC的三个内角；a，b，c分别为对边，向量

m
=（2cosC-1，-2），
n
=（cosC，cosC+1），若
m 
⊥
n
，且a+b=10，则△ABC周长的最小值为（　　）
A. 10-5
3

B. 10+5
3

C. 10-2
3

D. 10+2
3

答

∵

m
=（2cosC-1，-2），
n
=（cosC，cosC+1），
m 
⊥
n
，
∴2cos2C-cosC-2cosC-2=0，
即2cos2C-3cosC-2=0，
∴cosC=-
1
2
，或cosC=2（舍）．
∵a+b=10，
∴ab≤(
a+b
2
)2＝25，
∴c2=a2+b2-2abcosC
=a2+b2+ab
=100-ab
≥100-25
=75．
∴c≥
75
＝5
3
．
∴△ABC周长的最小值为10+5
3
．
故选B．

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