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已知函数f（x）=x2+2/x−4，(x＞0)，g（x）和f（x）的图象关于原点对称． （I）求函数g（x）的解析式； （II）试判断g（x）在（-1，0）上的单调性，并给予证明； （III）将函数g（x）的图象向

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:05:39
问题描述：

已知函数f（x）=x2+

2
x
−4，(x＞0)，g（x）和f（x）的图象关于原点对称．
（I）求函数g（x）的解析式；
（II）试判断g（x）在（-1，0）上的单调性，并给予证明；
（III）将函数g（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位，再向下平移b（b＞0）个单位，若对于任意的a，平移后gf（x）和f（x）的图象最多只有一个交点，求b的最小值．

答

（I）由g（x）和f（x）的图象关于原点对称，
得到g（x）=-f（-x）=-（x2−

2
x
−4）=-x2+
2
x
+4，（x＜0）；（2分）
（II）g（x）在（-1，0）上单调递减．
证明：任意取x1，x2∈（-1，0）且x1＜x2，
则
2
x1x2
＞2，x1+x2＞-2，
∵g（x1）-g（x2）=（x2-x1）（x1+x2+
2
x1x2
）＞0，
所以g（x）在（-1，0）上递减；（6分）
（III）同理可知g（x）在（-∞，-1）上递增，且g（x）和f（x）关于原点对称．
故要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点，
则只需要将g（x）向下平移2个单位，
因此b的最小值为2．（10分）

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