函数f(k)是定义在N+上的严格增函数.且满足条件f(f(k))=3k.试求f(1)+f(9)+f(96)的值.

问题描述:

函数f(k)是定义在N+上的严格增函数.且满足条件f(f(k))=3k.试求f(1)+f(9)+f(96)的值.
为什么f(n)≥n恒成立?

显然f(n)≥n.k=1时,f(f(1))=3,所以1≤f(1)≤3
(1)f(1)=1,代入上式,得f(1)=3矛盾!
(2)f(1)=3,代入上式,得f(3)=3矛盾!
(3)f(1)=2,代入上式,得f(2)=3,然后令k=2,得f(3)=6,同理有f(6)=9,f(9)=18,
f(18)=27,f(27)=54,f(54)=81...
又f(x)严格递增,自变量x从27到54共28个整数值,其函数值54到81也共28个整数值.
故f(x)=x+27,x=27,28.53,54.
所以f(32)=32+27=59.,令k=32,得f(59)=96,再令k=59,得f(96)=177
故f(1)+f(9)+f(96)=2+18+177=197