已知反比例函数y=k−1x（k为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．

答

（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）
∵点P在正比例函数y=x的图象上，
∴2=m，即m=2．
∴点P的坐标为（2，2）．
∵点P在反比例函数y=

k−1

x

的图象上，
∴2=

k−1

2

，解得k=5．
（Ⅱ）∵在反比例函数y=

k−1

x

图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴k-1＞0，解得k＞1．
（Ⅲ）∵反比例函数y=

k−1

x

图象的一支位于第二象限，
∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．
∵点A（x₁，y₁）与点B（x₂，y₂）在该函数的第二象限的图象上，且y₁＞y_2，
∴x₁＞x₂．
答案解析：（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数y=

k−1

x

的图象上，所以2=

k−1

2

，解得k=5；
（2）由于在反比例函数y=

k−1

x

图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k-1＞0，求出k的取值范围即可；
（3）反比例函数y=

k−1

x

图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x₁，y₁）与点B（x₂，y₂）在该函数的第二象限的图象上，且y₁＞y₂，故可知x₁＞x₂．
考试点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
知识点：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．