设曲面∑:x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1上的点(x,y,z)处的切平面为π,计算曲面积分∫∫∑1/λdS,其中λ是坐标原点到π的距离
问题描述：
设曲面∑:x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1上的点(x,y,z)处的切平面为π,计算曲面积分∫∫∑1/λdS,其中λ是坐标原点到π的距离
答
对曲面在第一象限内的部分,设
x=a*r*cos t
y=b*r*sin t
则
z=c*sqrt(1-r^2)
代入计算得到
8*pi/3*abc*(1/a^2+1/b^2+1/c^2)麻烦您写一下具体步骤呗 谢谢啦因为具体步骤比较罗嗦才没写……大致上是这样的：首先，所求积分是第一象限内积分的8倍；其次，\lambda = 1 / \sqrt(x^2/a^4 + y^2/b^4 + z^2/c^4)；然后，微元dS=dxdy/|cos \theta|，其中\theta是点(x,y,z)处的切平面与xy平面的夹角。于是cos \theta = (z/c^2)*(\lambda)；最后，把以上各式（包括x、y、z的参数表达式）代入积分，转化为关于r、t的积分，r从0到1，t从0到pi/2。对r积分的时候要用一次换元：u=sqrt(1-r^2)