试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和.
问题描述:
试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和.
答
证明:直观上可以这样看,当n>6时,在2,3,…,n-2中,必有一个数A与n互质(2≤A≤n-2),
记B=n-A≥2,有n=A+B,
此时,A与B必互质,否则A与B有公约数d>1,则d也是n的约数,从而A与n有大于1的公约数,与A、n互质矛盾.
(1)当n为奇数时,
n=2+(n-2),或n=
+n−1 2
n+1 2
(2)当n为偶数,但不是4的倍数时,n=
+n−4 2
,n+4 2
由n>6知
>1,且n−4 2
、n+4 2
均为奇数,n−4 2
(
,n−4 2
)=(n+4 2
,4)=1.n−4 2
(3)当n为偶数,且又是4的倍数时,有n=
+n−2 2
,n+2 2
由n>6知
>1,且n−2 2
、n−2 2
均为奇数,n+2 2
(
,n−2 2
)=(n+2 2
,2)=1.n−2 2