如图,抛物线y=-38x2-34x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
问题描述:
如图,抛物线y=-
x2-3 8
x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.3 4
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
答
x2−
x+3=0,
解得x1=-4,x2=2,
∴A、B点的坐标为A(-4,0)、B(2,0).
(2)抛物线y=−
x2−
x+3的对称轴是直线x=-
=-1,
即D点的横坐标是-1,
S△ACB=
AB•OC=9,
在Rt△AOC中,AC=
=
=5,
设△ACD中AC边上的高为h,则有
AC•h=9,解得h=
.
如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=
,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=-1的两个交点即为所求的点D.
设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=
,
∴CE=
=
=
=
.
设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(-4,0),C(0,3)坐标代入,
得到
,解得
,
∴直线AC解析式为y=
x+3.
直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(
个长度单位)而形成的,
∴直线l1的解析式为y=
x+3-
=
x-
.
则D1的纵坐标为
×(-1)-
=−
,∴D1(-1,−
).
同理,直线AC向上平移
个长度单位得到l2,可求得D2(-1,
)
综上所述,D点坐标为:D1(-1,−
),D2(-1,
).
(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.
连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.
∵A(-4,0),B(
答案解析:(1)A、B点为抛物线与x轴交点,令y=0,解一元二次方程即可.
(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高,设为h.在坐标平面内,作AC的平行线,平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等,可知平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.
从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得D点坐标.
注意:这样的平行线有两条,如答图1所示.
(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.
因为过A、B点作x轴的垂线,其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以AB为直径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解.
注意:这样的切线有两条,如答图2所示.
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用.难点在于第(3)问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解,这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决.本题难度较大,需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用.
(1)令y=0,即−
3 |
8 |
3 |
4 |
解得x1=-4,x2=2,
∴A、B点的坐标为A(-4,0)、B(2,0).
(2)抛物线y=−
3 |
8 |
3 |
4 |
−
| ||
2×(−
|
即D点的横坐标是-1,
S△ACB=
1 |
2 |
在Rt△AOC中,AC=
OA2+OC2 |
42+32 |
设△ACD中AC边上的高为h,则有
1 |
2 |
18 |
5 |
如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=
18 |
5 |
设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=
18 |
5 |
∴CE=
CF |
sin∠CEF |
CF |
sin∠OCA |
| ||
|
9 |
2 |
设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(-4,0),C(0,3)坐标代入,
得到
|
|
∴直线AC解析式为y=
3 |
4 |
直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(
9 |
2 |
∴直线l1的解析式为y=
3 |
4 |
9 |
2 |
3 |
4 |
3 |
2 |
则D1的纵坐标为
3 |
4 |
3 |
2 |
9 |
4 |
9 |
4 |
同理,直线AC向上平移
9 |
2 |
27 |
4 |
综上所述,D点坐标为:D1(-1,−
9 |
4 |
27 |
4 |
(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.
连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.
∵A(-4,0),B(
答案解析:(1)A、B点为抛物线与x轴交点,令y=0,解一元二次方程即可.
(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高,设为h.在坐标平面内,作AC的平行线,平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等,可知平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.
从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得D点坐标.
注意:这样的平行线有两条,如答图1所示.
(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.
因为过A、B点作x轴的垂线,其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以AB为直径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解.
注意:这样的切线有两条,如答图2所示.
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用.难点在于第(3)问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解,这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决.本题难度较大,需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用.