已知f(x)为偶函数,f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数,求f(2004)=?
问题描述：
已知f(x)为偶函数,f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数,求f(2004)=?
答
g(x)=-g(-x)
f(x-1)=-f((-x)-1)=-f(-x-1)=-f(x+1)
f(x+1)=-f(x-1)
f(x)=f((x-1)+1)=-f((x-1)-1)=-f(x-2)
f(x)=-f(x-2)=(-1)^2 *f(x-2*2)=(-1)^3 *f(x-2*3)=...=(-1)^n *f(x-2*n)
f(2004)=(-1)^1002 *f(2004-2*1002)=f(0)=2003
答
f(x-1)为奇函数,那么f(x-1)=-f(-x-1)又f(x)为偶函数所以 -f(-x-1)=-f(x+1) 得到f(x-1)+f(x+1)=0令x=t+2 f(t+1)+f(t+3)=0即 f(x+1)+f(x+3)=0那么f(x-1)=f(x+3)或者f(x)=f(x+4)从这个规律可以得到f(0)=f(4)=.=f(2000)=...