(2012•浦东新区二模)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数y=f(x)图象向右平移π4个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=1的解.

问题描述:

(2012•浦东新区二模)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)图象向右平移

π
4
个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=1的解.

(1)函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=

2
sin(2x+
π
4
)+1,
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)得:kπ-
8
≤x≤kπ+
π
8
(k∈Z),
则f(x)的单调递增区间是[kπ-
8
,kπ+
π
8
](k∈Z);
(2)由已知得:g(x)=
2
sin[2(x-
π
4
)+
π
4
]+1=
2
sin(2x-
π
4
),
由g(x)=1得:
2
sin(2x-
π
4
)=0,
∴2x-
π
4
=kπ(k∈Z),
则x=
2
+
π
8
(k∈Z).
答案解析:(1)把函数f(x)的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简,第二项利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的单调区间[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
](k∈Z),求出x的范围,即为函数f(x)的单调递增区间;
(2)根据平移规律“左加右减”,由f(x)的解析式得到向右平移2个单位后的解析式g(x),令g(x)=1,得到sin(2x-
π
4
)=0,根据正弦函数的图象与性质即可求出x的值,即为方程g(x)=1的解.
考试点:二倍角的余弦;二倍角的正弦;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
知识点:此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式,正弦函数的单调性,函数平移的规律,以及正弦函数的图象与性质,熟练掌握公式及性质是解本题的关键.