如图，抛物线y＝12x2−x−4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．（1）直接写出A、B、C的坐标；（2）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．
问题描述：
如图，抛物线y＝
x2−x−4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．1 2 
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．
答
知识点：本题考查了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐角三角形函数值、二次函数的最值问题以及菱形的判定，题目的综合性较强，难度中等．
（1）A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-4）；
（2）PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形，
理由如下：
设P（x，0）（-2＜x＜4），
∵PD∥AC，
∴
＝PD AC
，BP AB
解得PD＝
(x+2)，2
2
3
∵C到PD的距离（即P到AC的距离）d＝PA×sin450＝
(4−x)，
2
2
∴△PCD的面积S＝
×PD×d＝1 2
(x+2)(4−x)＝−1 3
x2+1 3
x+2 3
，8 3
即S＝−
(x−1)2+3，1 3
∴△PCD面积的最大值为3，
当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4-x=3，PD＝
(x+2)＝22
2
3
，
2
∵PA≠PD，
∴PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．
答案解析：（1）设y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，设x=0，则可求出C的坐标；
（2）设P（x，0）（-2＜x＜4），由PD∥AC，可得到关于PD的比例式，由此得到PD和x的关系，再求出C到PD的距离（即P到AC的距离），利用三角形的面积公式可得到S和x的函数关系，利用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．
考试点：二次函数综合题．
知识点：本题考查了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐角三角形函数值、二次函数的最值问题以及菱形的判定，题目的综合性较强，难度中等．