如图,一次函数y=-2x+2的图象与与坐标轴相交于A、B两点,点P(x,y)是线段AB(不含端点)上一动点,设△AOP的面积为S.(1)求点B的坐标;(2)求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)当S=12时,试问在x轴上是否存在一点Q,使得PQ+BQ最小?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

问题描述:

如图,一次函数y=-2x+2的图象与与坐标轴相交于A、B两点,点P(x,y)是线段AB(不含端点)上一动点,设△AOP的面积为S.
(1)求点B的坐标;
(2)求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当S=

1
2
时,试问在x轴上是否存在一点Q,使得PQ+BQ最小?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

(1)当x=0时,y=-2×0+2=2,
即B(0,2);
(2)当y=0时,0=-2x+2,
解得x=1,
∴A(1,0),即OA=1,
∴S△AOP=

1
2
×OA×yP
1
2
×1×(−2x+2)=−x+1,
即S=-x+1,其中0<x<1;
(3)∵S=
1
2

1
2
=−x+1

解得x=
1
2

x=
1
2
代入y=-2x+2,可得y=1,
即P(
1
2
,1),
设B关于x轴的对称点为B′,连接PB′,交x轴于Q,Q点即为所求,如图.
∵B′(0,-2),设经过PB′的直线解析式为y=kx+b,于是
1=
1
2
k+b
−2=k•0+b

解得k=6,b=-2,
∴PB′的解析式为y=6x-2,
令y=0时,解得x=
1
3

即Q(
1
3
,0).
答案解析:(1)从图中不难发现,点B在y轴上,即B点的横坐标为0,且点B在一次函数y=-2x+2的图象上,则将x=0代入即可求得y值,B点坐标即可确定.
(2)根据A点为一次函数y=-2x+2的图象与与x轴的交点,不难确定A点的坐标为(1,0).再运用三角形的面积计算公式,即可用求得△AOP的面积为S关于x的解析式.
(3)首先根据(2)可求得P的坐标值.再设B关于x轴的对称点为B′,连接PB′,交x轴于Q,Q点即为所求.B′点的坐标根据B点坐标不难求得.因而利用P、B的坐标求得PB′的解析式,再联立组成方程组求得Q点的坐标值.
考试点:一次函数综合题;轴对称-最短路线问题.
知识点:本题是一次函数与三角形相结合的问题,在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题.