答
(1)证明:∵A(a,m),B(2a,n)是反比例函数y=(k>0)上,且AC⊥OC,BD⊥OD,
∴am=k,2an=k,
∵S△AOC=OC•AC=a×m=k,S△BOD=OD×BD=×2a×n=k,
∴S△AOC=S△OBD;
(2)∵A,B两点在一次函数y=-x上,
∴A点坐标可表示为(a,-a+b),B点坐标表示为(2a,-a+b),
∵A,B在是反比例函数y=上,
∴a•(-a+b)=2a•(-a+b),解得b=4a,
∴A点坐标为(a,a),B点坐标表示为(2a,a),
∵A(a,m),B(2a,n)是反比例函数y=(k>0)上,
∴一次函数y=−x+b与x轴,y轴的交点F(0,4a),E(3a,0),如图,
∵S△AOB=S△E0F-S△FOA-S△BOE=8,
即•3a•4a-4a•a-•3a•a=8,
∴a2=4,
∴a=±2(负号舍去)
∴a=2.
答案解析:(1)根据反比例函数图象上点得坐标特点得到am=k,2an=k,再根据三角形面积公式得到S△AOC=OC•AC=a×m=k,S△BOD=OD×BD=×2a×n=k,即可得到结论;
(2)先把A、B两点坐标代入一次函数解析式,可以用a表示为A点坐标(a,-a+b),B点坐标(2a,-a+b),再利用A、B两点在反比例函数图象上,则k=a•(-a+b)=2a•(-a+b),于是解得b=4a,然后用a表示一次函数与坐标轴两交点坐标F(0,4a),E(3a,0),然后利用S△AOB=S△E0F-S△EOA-S△BOF=8和三角形面积公式得到关于a的方程,再解方程可得a的值.
考试点:反比例函数与一次函数的交点问题.
知识点:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式.也考查了三角形面积公式.