已知抛物线C的方程y^2=4x,F为抛物线的焦点,顶点在原点上(1) 求圆心在抛物线C上,且与x轴及准线都相切的圆的方程(2) 过点A(2,0)的直线l与抛物线C交于P,Q两点,F为抛物线的焦点,且向量FQ+向量FP=向量FR,求点R的轨迹方程
问题描述：
已知抛物线C的方程y^2=4x,F为抛物线的焦点,顶点在原点上
(1) 求圆心在抛物线C上,且与x轴及准线都相切的圆的方程
(2) 过点A(2,0)的直线l与抛物线C交于P,Q两点,F为抛物线的焦点,且向量FQ+向量FP=向量FR,求点R的轨迹方程
答
y^2=4x,抛物线的焦点F(1,0)
设圆心为(a,b),半径为r
圆与x轴相切,那么r=|b|,
圆与抛物线准线x=-1相切,
则a+1=|b|
又b^2=4a
∴（a+1)^2=b^2=4a
解得a=1,b=±2,r=2
圆的方程为(x-1)^2+(y±2)^2=4
(2)
设l:x=ty+2
{x=ty+2
{y^2=4x
==>
y^2=4(ty+2)
==>
y^2-4ty-8=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则y1+y2=4t ,y1y2=-8
那么x1+x2=t(y1+y2)+4
令R(x,y)
因为向量FQ+向量FP=向量FR,
所以（x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x-1,y-1)
所以x-1=x1+x2-2 ,
x-3=t(y1+y2)=4t^2
y-1=y1+y2=4t
x-3=(y-1)^2/4
即(y-1)^2=4(x-3)