求证;X表示整数时,(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1是一个整数的完全平方数

因为(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1=(x^2+5x+5)^2
他是x^2+5x+5的平方 。 所以得证

原式化为：[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=（x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+4)+2(x^2+5x+4)+1
=(x^2+5x+4)^2+2(x^2+5x+4)+1
=(x^2+5x+4+1)^2
即(x^2+5x+5)^2
所以原式为完全平方数．
注：”^2”为平方的意思，如：”x^2”为x的平方．

(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1
=[(x^2+5x)+4][(x^2+5x)+6]+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25
=(x^2+5x+5)^2
所以X表示整数时,(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1是一个整数的完全平方数

(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=[(x^2+5x)+4][(x^2+5x)+6]+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25
=(x^2+5x+5)^2