已知函数f(x)=x2,x∈[-1,2],g(x)=ax+2,x∈[-1,2],若对任意x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使f(x1)=g(x2)成立,则a的取值范围是______.
问题描述:
已知函数f(x)=x2,x∈[-1,2],g(x)=ax+2,x∈[-1,2],若对任意x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使f(x1)=g(x2)成立,则a的取值范围是______.
答
若对任意x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使f(x1)=g(x2)成立,
只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)的值域的子集即可.
函数f(x)=x2,x∈[-1,2]的值域为[0,4].
下求g(x)=ax+2的值域.
①当a=0时,g(x)=2为常数,不符合题意舍去;
②当a>0时,g(x)的值域为[2-a,2+2a],要使[0,4]⊆[2-a,2+2a],
需
,解得a≥2;
2−a≤0 2+2a≥4
③当a<0时,g(x)的值域为[2+2a,2-a],要使[0,4]⊆[2+2a,2-a],
需
2+2a≤0 2−a≥4
,解得a≤-2;
2+4a≤0 2−a≥4
综上,m的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞)
故答案为:(-∞,-2]∪[2,+∞).
答案解析:存在性问题:“若对任意x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使f(x1)=g(x2)成立”,只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)的值域的子集即可.
考试点:函数恒成立问题.
知识点:本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.