如图，已知△ABC的内切圆O切AC于点K，D是AC的中点，求证：直线DO平分线段BK．
问题描述：
如图，已知△ABC的内切圆O切AC于点K，D是AC的中点，求证：直线DO平分线段BK．
答
证明：设△ABC的内切圆O切BC于点D，过点D作⊙O直径DE，连接AE，
并延长交BC于点F，则BF=CD，令⊙O分别切AB、AC于点M、N，
过点E作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，
则GH切⊙O于点E，
且△AGE∽△ABF，△AGH∽△ABC，
记△AGH与△ABC的周长分别为：2p′，2p，
则AG+GE=AG+GM=AM=AN=AH+HN=AH+HE=p′，
于是：
=p′ p
=2p′ 2p
=AG AB
=GE BF
=AG+GE AB+BF
，p′ AB+BF
即有p=AB+BF，
故BF=p-AB=CD，
过点K作直径KE，连接BE，并延长交AC于点F，由上述定理知AF=KC，
∴AC的中点D也是FK的中点，
又∵O是KE的中点，
∴DO∥EF，
∴直线DO平分线段BK．