四个集合的并集中元素的个数

问题描述:

四个集合的并集中元素的个数
Card(A)并Card(B)并Card(C)并Card(D),用数学语言表示有多少个元素?

容斥定理的应用 组合数学的内容
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
card(A∪B∪C∪D)=card(A)+card(B)+card(C)+card(D)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)-card(A∩D)+card(A∩B∩C)+card(A∩B∩D)+card(B∩C∩D)-card(A∩B∩C∩D)
更一般的容斥定理:
n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m-∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m+∑n(Ai∩Aj∩Ak)-…+(-1)m-1n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m
注:m-1是-1的指数
这种公式的形式是很复杂的
重在理解
理解了就很好用了
甚至不用背就可以自己写出公式来
解题的时候就得心应手
不过这个公式已经超出了高中的范畴了
高中最多也就讨论m=3的情形
用语言表达似乎很困难
就是说求几个集合的并集可以先把他们统统加起来
但是这样做有些地方就多加了
那么就要减掉一些 (由公式来判断什么需要减去)
但是这样做有些地方就多减了
那么就要加上一些 (由公式来判断什么需要加上)
.
如此重复继续下去
最后得到的结果就是这几个集合的并集
举个例子吧
集合 a1 ,a2 ,a3
a1={ 1 ,2 ,3 ,4 }
a2={ 2 ,3 ,4 ,5 }
a3={ 3 ,4 ,5 ,1 }
求三个集合的并集
按照这个公式
∑n(Ai)1≤i≤m = a1 + a2 + a3 = { 1 ,2 ,3 ,4 ,2 ,3 ,4 ,5 ,3 ,4 ,5 ,1 }
∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m = (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) = { 2 ,3 ,4 } +{ 3 ,4 ,5 } + { 3 ,4 ,1}
∑n(Ai∩Aj∩Ak)1≤i≤j≤m = (a1∩a2∩a3) = { 3 ,4 }
代入公式
三个集合的并集= a1 + a2 + a3 - (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) + (a1∩a2∩a3) = { 1 ,2 ,3 ,4 ,2 ,3 ,4 ,5 ,3 ,4 ,5 ,1 } - ( { 2 ,3 ,4 } +{ 3 ,4 ,5 } + { 3 ,4 ,1 } ) + ( { 3 ,4 } ) = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
希望对你有所帮助