如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).(1)当t=0.5时,求线段QM的长;(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究CQRQ是否为定值?若是,试求这个定值;若不是,请说明理由.

问题描述:

如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).
(1)当t=0.5时,求线段QM的长;
(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;
(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究

CQ
RQ
是否为定值?若是,试求这个定值;若不是,请说明理由.

(1)过点C作CF⊥AB于F,则四边形AFCD为矩形.
∴CF=4,AF=2,
此时,Rt△AQM∽Rt△ACF,(2分)

QM
AM
CF
AF

QM
0.5
4
2

∴QM=1;(3分)
(2)∵∠DCA为锐角,故有两种情况:
①当∠CPQ=90°时,点P与点E重合,
此时DE+CP=CD,即t+t=2,∴t=1,在0<t<2内,(5分)
②当∠PQC=90°时,如备用图1,
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA,∴
EQ
PE
MA
QM

由(1)知,EQ=EM-QM=4-2t,
而PE=PC-CE=PC-(DC-DE)=t-(2-t)=2t-2,
4−2t
2t−2
1
2

t=
5
3
,在0<t<2内;
综上所述,t=1或
5
3
;(8分)(说明:未综述,不扣分)
(3)
CQ
RQ
为定值.
当t>2时,如备用图2,PA=DA-DP=4-(t-2)=6-t,
由(1)得,BF=AB-AF=4,
∴CF=BF,
∴∠CBF=45°,
∴QM=MB=6-t,
∴QM=PA,
∵AB∥DC,∠DAB=90°,
∴四边形AMQP为矩形,
∴PQ∥AB,
∴△CRQ∽△CAB,
CQ
RQ
BC
AB
CF2+BF2
AB
4
2
6
2
2
3

答案解析:(1)过点C作CF⊥AB于F,则四边形AFCD为矩形,易知CF=4,AF=2,利用平行线分线段成比例定理的推论可知Rt△AQM∽Rt△ACF,那么可得比例线段,从而求出QM;
(2)由于∠DCA为锐角,故有两种情况:
①当∠CPQ=90°时,点P与点E重合,可得DE+CP=CD,从而可求t;②当∠PQC=90°时,如备用图1,容易证出Rt△PEQ∽Rt△QMA,再利用比例线段,结合EQ=EM-QM=4-2t,可求t;
(3)
CQ
RQ
为定值.当t>2时,如备用图2,先证明四边形AMQP为矩形,再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△CRQ∽△CAB,再利用比例线段可求
CQ
RQ

考试点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;直角梯形;平行线分线段成比例.

知识点:本题利用了矩形的性质、相似三角形的判定和性质,还要掌握多种情况下的讨论解题法.