如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4m/s的速度如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2√3cm/s的速度,沿A→C的路线向C运动.当P、Q到达终点C时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒.(1)在点P、Q运动过程中,请判断PQ与对角线AC的位置关系,并说明理由;(2)若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N①当t为何值时,点P、M、N在同一直线上?②当点P、M、N不在一直线上时,是否存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t值;若不存在,请说明理由.

问题描述:

如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4m/s的速度
如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2√3cm/s的速度,沿A→C的路线向C运动.当P、Q到达终点C时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒.
(1)在点P、Q运动过程中,请判断PQ与对角线AC的位置关系,并说明理由;
(2)若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N
①当t为何值时,点P、M、N在同一直线上?
②当点P、M、N不在一直线上时,是否存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t值;若不存在,请说明理由.

(1) 若0<t≤5,则AP=4t,AQ=23t.则 APAQ=4t23t=233 ,
又 ∵ AO=103,AB=20,∴ ABAO=20103=233 .
∴ APAQ=AB AO,……1分 又 ∠CAB=30°,∴ △APQ∽△ABO…………2分
∴ ∠AQP=90°,即PQ⊥AC.…………………………………………………3分
当5<t≤10时,同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC=90°,即PQ⊥AC……4分
∴ 在点P、Q运动过程中,始终有PQ⊥AC.
(2)① 如图,在RtAPM中,易知AM=83t3,又AQ=23t,
QM=203-43t.………………………………………5分
由AQ+QM=AM 得23t+203-43t=83t3……6分
解得t=307 ………………………………………………7分
∴ 当t=307时,点P、M、N在一直线上.
② 存在这样的t,使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1,当点N在AD上时,若PN⊥MN,则∠NMH=30°.
∴ MH=2NH,得 203-43t-23t3=2×83t3 解得t=2,…………9分
如图2,当点N在CD上时,若PM⊥MN,则∠HMP=30°.
∴ MH=2PH,同理可得t= 203 .……………………………………………10分
故 当t=2或 203 时,存在以PN为一直角边的直角三角形.………………