如图,已知AB是⊙O的直径,BC是和⊙O相切于点B的切线,⊙O的弦AD平行于OC,若OA=2,且AD+OC=6,则CD=______.

问题描述:

如图,已知AB是⊙O的直径,BC是和⊙O相切于点B的切线,⊙O的弦AD平行于OC,若OA=2,且AD+OC=6,则CD=______.

连接BD,则∠ADB=90°;
∵AD∥OC,
∴OC⊥BD;
根据垂径定理,得OC是BD的垂直平分线,即CD=BC;
延长AD交BC的延长线于E;
∵O是AB的中点,且AD∥OC;
∴OC是△ABE的中位线;
设OC=x,则AD=6-x,AE=2x,DE=3x-6;
Rt△ABE中,根据勾股定理,得:BE2=4x2-16;
由切割线定理,得BE2=ED•AE=2x(3x-6);
∴4x2-16=2x(3x-6),解得x=2,x=4;
当x=2时,OC=OB=2,由于OC是Rt△OBC的斜边,显然x=2不合题意,舍去;
当x=4时,OC=4,OB=2;
在Rt△OBC中,CB=

OC2OB2
=2
3

∴CD=CB=2
3

答案解析:连接BD,根据AD∥OC,易证得OC⊥BD,根据垂径定理知:OC垂直平分BD,可得CD=CB,因此只需求出CB的长即可;
延长AD,交BC的延长线于E,则OC是△ABC的中位线;设未知数,表示出OC、AD、AE的长,然后在Rt△ABE中,表示出BE的长;最后根据切割线定理即可求出未知数的值,进而可在Rt△CBO中求出CB的长,即CD的长.
考试点:切割线定理;平行线的性质;圆周角定理.
知识点:本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质、切割线定理、中位线定理等知识,综合性强,难度较大.