如图,AB为⊙O的直径,且弦CD⊥AB于E,过点B的切线与AD的延长线交于点F.(1)若M是AD的中点,连接ME并延长ME交BC于N.求证:MN⊥BC.(2)若cos∠C=45,DF=3,求⊙O的半径.

问题描述:

如图,AB为⊙O的直径,且弦CD⊥AB于E,过点B的切线与AD的延长线交于点F.

(1)若M是AD的中点,连接ME并延长ME交BC于N.求证:MN⊥BC.
(2)若cos∠C=

4
5
,DF=3,求⊙O的半径.

(1)证明:
(方法一)连接AC.
∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CD于E,
由垂径定理得,点E是CD的中点;
又∵M是AD的中点,
∴ME是△DAC的中位线,
∴MN∥AC.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠MNB=90°,即MN⊥BC;
(方法二)∵AB⊥CD,∴∠AED=∠BEC=90°.
M是AD的中点,
∴ME=AM,即有∠MEA=∠A.
∵∠MEA=∠BEN,∠C=∠A,
∴∠C=∠BEN.
又∵∠C+∠CBE=90°,
∴∠CBE+∠BEN=90°,
∴∠BNE=90°,即MN⊥BC;
(方法三)∵AB⊥CD,∴∠AED=90°.
由于M是AD的中点,
∴ME=MD,即有∠MED=∠EDM.
又∵∠CBE与∠EDA同对

AC
,∴∠CBE=∠EDA.
∵∠MED=∠NEC,
∴∠NEC=∠CBE.
∵∠C+∠CBE=90°,
∴∠NEC+∠C=90°,
即有∠CNE=90°,即MN⊥BC.
(2)连接BD.
∵∠BCD与∠BAF同对
BD
,∴∠C=∠A,
∴cos∠A=cos∠C=
4
5

∵BF是⊙O的切线,∴∠ABF=90°.
在Rt△ABF中,cos∠A=
AB
AF
=
4
5

设AB=4x,则AF=5x,由勾股定理得:BF=3x.
∵AB是⊙O的直径,∴BD⊥AD,
∴△ABF∽△BDF,
BF
AF
DF
BF

3x
5x
3
3x

x=
5
3

∴直径AB=4x=4×
5
3
20
3

则⊙O的半径为
10
3

答案解析:(1)连接AC.欲求MN⊥BC,只需证MN∥AC即可.由于直径AB⊥CD,由垂径定理知E是CD中点,而M是AD的中点,故EM是△ACD的中位线,可得ME(即MN)∥AC,由此得证.
(2)由于∠A、∠C所对的弧相同,因此cosA=cosC,由此可得BF、AF、AB的比例关系,用未知数表示出它们的长.
连接BD,证△BDF∽△ABF,根据所得比例线段即可求得未知数的值(也可利用切割线定理求解),从而得到直径AB的长,也就能求出⊙O的半径.
考试点:锐角三角函数的定义;勾股定理;三角形中位线定理;垂径定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质.

知识点:此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质等知识,难度适中.