如图①,已知直线y=x+b与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,抛物线y=ax2+2ax+c过点C、A,且与x轴交于另一点B.(1)求直线与抛物线的函数关系式及点B的坐标;(2)若点P为抛物线上一动点,且点P位于直线AC上方,连结PA,PC,求△APC的面积的最大值;(3)如图②,将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方,与原抛物线没有变化的部分构成一个新图象,过点B作直线l与新图象交于另外的两点M、N(点M在点N的左侧),是否存在这样的直线l,使得△ABM的面积被AN恰好平分?若存在,请求出直线l的函数关系式;若不存在,请说明理由.

问题描述:

如图①,已知直线y=x+b与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,抛物线y=ax2+2ax+c过点C、A,且与x轴交于另一点B.
作业帮
(1)求直线与抛物线的函数关系式及点B的坐标;
(2)若点P为抛物线上一动点,且点P位于直线AC上方,连结PA,PC,求△APC的面积的最大值;
(3)如图②,将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方,与原抛物线没有变化的部分构成一个新图象,过点B作直线l与新图象交于另外的两点M、N(点M在点N的左侧),是否存在这样的直线l,使得△ABM的面积被AN恰好平分?若存在,请求出直线l的函数关系式;若不存在,请说明理由.

(1)直线y=x+b过点C(0,3),
∴b=3,
故直线的函数关系式为y=x+3,
它与x轴交于点A(-3,0),
抛物线y=ax2+2ax+c过A,C,
∴c=3,
0=3a+3,
解得a=-1.
∴抛物线的解析式是y=-x2-2x+3①,
它与x轴交于另一点B(1,0).
(2)设P(p,-p2-2p+3),-3<p<0,
直线x=p交AC:y=x+3于D(p,p+3),
∴S△APC=

1
2
DP(xC-xA)=
3
2
(-p2-3p)=(-
3
2
(p+
3
2
2+
27
8

∴△APC的面积的最大值是
27
8

(3)设直线l:y=k(x-1)②,
代入①,x2+(k+2)x-k-3=0,
解得x=1或-k-3,
∴xM=-k-3,
将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方,得到抛物线y=x2+2x-3(-3<x<1)③,
把②代入③得,x2+(2-k)x+k-3=0,
解得x=1或k-3,
∴xN=k-3,
△ABM的面积恰好被AN平分,
∴MN=NB,
∴k-3-(-k-3)=1-(k-3),
2k=4-k,
解得k=
4
3

故直线l的函数关系式是y=
4
3
x-
4
3

答案解析:(1)根据直线y=x+b过点C(0,3),可得b=3,求直线的函数关系式,从而得到A(-3,0),再将A,C两点的坐标代入抛物线y=ax2+2ax+c,可得c=3,a=-1,从而得到抛物线的函数关系,进一步得到抛物线与x轴另一交点B(1,0).(2)设P(p,-p2-2p+3),-3<p<0,直线x=p交AC:y=x+3于D(p,p+3),根据三角形面积公式得到S△APC=12DP(xC-xA)=32(-p2-3p)=(-32(p+32)2+278,从而得到△APC的面积的最大值.(3)设直线l:y=k(x-1)②,代入①,x2+(k+2)x-k-3=0,解得x=1或-k-3,将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴的下方,得到抛物线y=x2+2x-3(-3<x<0)③,把②代入③得,x2+(2-k)x+k-3=0,解得x=1或k-3,∴xN=k-3,根据△ABM的面积恰好被AN平分,可得MN=NB,得到关于k的方程,解方程即可求得直线l的函数关系式.
考试点:二次函数综合题.
知识点:考查了二次函数综合题,涉及了待定系数法求直线与抛物线的函数关系式,三角形的面积,函数的最值,折叠的性质,方程思想的运用,综合性较强,有一定的难度.