设函数y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定,试求y=y(x)的驻点,并判别它是否为极值点.

问题描述:

设函数y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定,试求y=y(x)的驻点,并判别它是否为极值点.

对方程两边求导,得
3y2y-2yy'+xy'+y-x=0(1)
令y’=0,得y=x,代入原方程 2x3-x2-1=0
从而解得唯一的驻点为x=1,y=1
在(1)式两边对x求导得:
(3y2-2y+x)y+2(3y-1)y'2+2y'-1=0
y|(1,1)=

1
2
>0
故驻点x=1是y=y(x)的极小值点
答案解析:考查隐函数求导及驻点、极值点的定义
考试点:极值点和驻点的定义和求法
知识点:隐函数求导中要注意链式法则的使用,不要求原函数,只需要求出一阶及二阶导数即可