设A为实矩阵,证明A^TA的特征值都是非零负实数.

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• 对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1．对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）．又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．（Ⅰ）如果数列A0为2，6，4，8，写出数列A1，A2；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）．
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