定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点

问题描述:

定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点
设f(x)=3x^2+x+a,g(x)=2ax+1
(1)若f(x)在(0,2)上没有不动点,求a的取值范围
(2)若对任意的x∈(0,1),x-1<f(x)-g(x)<x+1恒成立,求a的取值范围

定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点
其实就是f(x)和直线y=x有交点(x0,x0)
(1)若f(x)在(0,2)上没有不动点,也就是函数f(x)与函数y=x在(0,2)没有交点.
即3x^2+x+a=x在(0,2)没有根.
3x^2+a=0
设h(x)=3x^2+a在(0,2)与x轴没有交点.
根据二次函数图象得:
h(0)≥0或者h(2)≤0,a≥0或12+a≤0
所以a≥0或a≤-12
(2)f(x)-g(x)=3x^2+(1-2a)x+a-1
x-1<f(x)-g(x)即3x^2-2ax+a≥0在(0,1)恒成立.
设k(x)=3x^2-2ax+a,则k(0)≥0且k(1)≥0
则0≤a≤3
f(x)-g(x)<x+1即3x^2-2ax+a-2<0在(0,1)恒成立.
设m(x)=3x^2-2ax+a-2,则k(0)≤0且k(1)≤0
a≤2且a≥1即1≤a≤2
0≤a≤3和1≤a≤2求交
得1≤a≤2