已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3+x2[f′(x)+m2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3+x2[f′(x)+
]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围． m 2
答
（1）f′(x)＝ax−a＝a(1−x)x（x＞0），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）当a＜0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）（2）∵函数y=f（x）在点（2，f（2））处...
答案解析：（1）先求导数f′（x）然后在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的区间为单调增区间，f′（x）＜0的区间为单调减区间．
（2）对函数求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间得到若f（x）在[1，2]上不单调，只要极值点出现在这个区间就可以，得到对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，从而求m的取值范围．
考试点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；
（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．