已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)解不等式f(5-2x)+f(3x+1)<0.

问题描述:

已知定义域为R的函数f(x)=

2x+b
2x+1+a
是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)解不等式f(5-2x)+f(3x+1)<0.

(I)∵函数f(x)=

2x+b
2x+1+a
是奇函数
∴f(0)=0,f(1)=-f(-1),
b−1
a+2
=0
b−2
a+4
=−
b−
1
2
a+1

解得a=2,b=1
(II)由(I)得f(x)=
2x+1
2x+1+2
=
1
2
+
1
2x+1

∵y=2x为增函数,
∴y=2x+1为增函数,
∴y=
1
2x+1
为减函数,
∴函数f(x)为减函数
若f(5-2x)+f(3x+1)<0
则f(5-2x)<-f(3x+1)=f(-3x-1)
则5-2x>-3x-1
解得x>-6
答案解析:(I)利用奇函数定义f(x)=-f(x),根据f(0)=0,f(-1)=-f(1),构造方程组,解方程组可求a,b的值;
(II)由已知中函数的解析式,分析出函数的单调性,结合(I)中函数的奇偶性,可将不等式f(5-2x)+f(3x+1)<0化为x的一次不等式,进而得到答案.
考试点:函数奇偶性的判断;函数单调性的性质.
知识点:本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元一次不等式的解法,熟练掌握函数单调性及奇偶性的定义是解答的关键.